Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA₁=2a，D棱B₁B的中點．
（Ⅰ）證明：A₁C₁∥平面ACD；
（Ⅱ）求異面直線AC與A₁D所成角的大小；
（Ⅲ）證明：直線A₁D⊥平面ADC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明A₁C₁∥AC，然后證明A₁C₁∥平面ACD．
（Ⅱ）先證明A₁A⊥AC．再證明AC⊥平面A₁ABB₁，推出異面直線AC與A₁D所成的角為90°．
（Ⅲ） 先證明 A₁D⊥AD，再由（Ⅱ）知A₁D⊥AC，故得到A₁D⊥平面ACD

解答：解：（Ⅰ）證：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁  …（2分）
又A₁C₁?平面ACD∴A₁C₁∥平面ACD  …（4分）
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC
∴A₁A⊥AC    …（6分）    又∠BAC=90°∴AC⊥AB
∴AC⊥平面A₁ABB₁  …（8分）
又A₁D?平面A₁ABB₁，∴AC⊥A₁D
∴異面直線AC與A₁D所成的角大小為

π

2

．…（9分）
（Ⅲ）∵△A₁B₁D和△ABD都為等腰直角三角形，∴∠A₁DB₁=∠ADB=45°
∴∠A₁DA=90°即  A₁D⊥AD  …（11分）  
 由（Ⅱ）知A₁D⊥AC，
∴A₁D⊥平面ACD  …（14分）

點評：本題考查直線與平面平行，異面直線所成的角，直線與平面所成的角的求法，考查空間想象能力，計算能力．