Question

【題目】某種產品的質量以其質量指標值衡量，并依據質量指標值劃分等級如表：

質量指標值m	25≤m＜35	15≤m＜25或35≤m＜45	0＜m＜15或45≤m＜65
等級	一等品	二等品	三等品

某企業從生產的這種產品中抽取100件產品作為樣本，檢測其質量指標值，得到下圖的率分布直方圖．（同一組數據用該區間的中點值作代表）

（1）該企業為提高產品質量，開展了質量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產品三等品數Y近似滿足Y～H（10，15，100），請測算“質量提升月”活動后這種產品的“二等品率“（一、二等品其占全部產品百分比）較活動前提高多少個百分點？

（2）若企業每件一等品售價180元，每件二等品售價150元，每件三等品售價120元，以樣本中的頻率代替相應概率，現有一名聯客隨機購買兩件產品，設其支付的費用為X（單位：元），求X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】（1）5個百分點．（2）見解析，．

【解析】

（1）根據抽樣調查數據，求得樣本中一等品和二等品的件數，得到在樣本中所占比例，再根據活動后產品三等品數Y近似滿足Y～H（10，15，100）得到一、二等品的合格率，兩個比例比較即可.

（2）根據樣品估計總體，該企業隨機抽取一件產品為一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，再明確隨機變量X的所有可能取值為240，270，300，330，360，分別求得相應概率，寫出分布列再求期望.

（1）根據抽樣調查數據知，樣本中一等品和二等品共有：（0.5+0.18+0.12）×100＝80（件）

在樣本中所占比例為80%，

活動后產品三等品數Y近似滿足Y～H（10，15，100），

所以100件產品中三等品為15件，一、二等品數為100﹣15＝85（件）合格率為85%，

所以一、二等品率增加了5個百分點．

（2）由樣品估計總體知，該企業隨機抽取一件產品為一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，

隨機變量X的所有可能取值為240，270，300，330，360．

，

，

，

．

，

所以X的分布列為：

X	240	270	300	330	360
P（X）

X的數學期望．