Question

設曲線C的方程是y=x³-x，將C沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長度后，得到曲線C₁．
（1）寫出曲線C₁的方程；
（2）證明：曲線C與C₁關于點A（

t

2

，

s

2

）對稱．

Answer 1

分析：（1）將C沿x軸、正向平移t單位長度后，x變為x-t，將C沿y軸正向平移s單位長度后，y 變為y-s；
（2）要證明曲線C₁與C關于點A（

t

2

，

s

2

）對稱，只需證明曲線C₁上任意一個點關于A點的對稱點都在曲線C上，曲線C上任意一個點關于A點的對稱點都在曲線C₁上即可．

解答：（1）解：根據題意，將C沿x軸、正向平移t單位長度后，x變為x-t，將C沿y軸正向平移s單位長度后，y 變為y-s；
則可得，C₁：y-s=（s-t）³-（x-t）．①
（2）證明：設P₁（x₁，y₁）為曲線C₁上任意一點，
它關于點A（

t

2

，

s

2

）的對稱點為：P（t-x₁，s-y₁），
把P點坐標代入曲線C的方程，左=s-y₁，右=（t-x₁）³-（t-x₁）．
由于P₁在曲線C₁上，
∴y₁-s=（x₁-t）³-（x₁-t）．
∴s-y₁=（t-x₁）³-（t-x₁）
即點P（t-x₁，s-y₁）在曲線C上．
同理可證：曲線C上任意一點關于點A的對稱點都在曲線C₁上．
∴曲線C與C₁關于點A（

t

2

，

s

2

）對稱．

點評：注意：平移過程中坐標的變化規律，證明兩曲線關于某點對稱的方法．