Question

設命題p：關于x的不等式2^|x-2|＜a的解集為∅；命題q：函數y=lg（ax²-x+a）的值域是R．如果命題p和q有且僅有一個正確，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據指數函數的單調性，解不等式2^|x-2|＜a，我們可以求出使命題P為真時，參數a的取值范圍，根據對數函數的定義域及二次函數性質的充要條件，我們易求出命題q為真時，參數a的取值范圍，進而根據P和Q有且僅有一個正確，分P真Q假或者P假Q真兩種情況討論，最后綜合討論結果，即可得到答案．

解答：解：由不等式2^|x-2|＜a的解集為∅，得a≤1．…（3分）
由函數y=lg（ax²-x+a）的值域是R知ax²-x+a要取到所有正數．…（4分）
故

a＞0 △=1-4a2≥0

⇒0＜a≤

1

2

…（8分）或a=0，即0≤a≤

1

2

（10分）
由命題p和q有且僅有一個正確，
ⅰ：若P真Q假，則a＜0或

1

2

＜a≤1；
ⅱ：若P假Q真，則a∈∅．
得a的取值范圍是(-∞，0)∪(

1

2

，1]…（12分）．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中根據解指數形式，求出命題P為真時，參數a的取值范圍，根據對數函數的定義域及二次函數的性質求出命題Q為真時，參數a的取值范圍，是解答本題的關鍵．