Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點．
（1）求直線ON（O為坐標原點）的斜率k_ON；
（2）設M橢圓C上任意一點，且

OM

=λ

OA

+μ

OB

，求λ+μ的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的焦距為2c，因為

c

a

=

6

3

，所以有

a2-b2

a2

=

2

3

，故有a²=3b²．橢圓C的方程可化為：x²+3y²=3b²，右焦點F的坐標為（

2

b，0），據題意有AB所在的直線方程為：y=x-

2

b再結合韋達定理能夠求出斜率k_ON．
（2）

OA

與

OB

可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量

OM

，有且只有一對實數λ，μ，使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．由此入手能夠求出λ+μ的最大值和最小值．

解答：解：（1）設橢圓的焦距為2c，因為

c

a

=

6

3

，所以有

a2-b2

a2

=

2

3

，故有a²=3b²．
從而橢圓C的方程可化為：x²+3y²=3b²①
易知右焦點F的坐標為（

2

b，0），
據題意有AB所在的直線方程為：y=x-

2

b②
由①，②有：4x2-6

2

bx+3b2=0③
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點N（x₀，y₀），由③及韋達定理有：x0=

x1+x2

2

=

3 2 b

4

，y0=x0-

2

b=-

2

4

b．
所以KON=

y0

x0

=-

1

3

，即為所求．
（2）顯然

OA

與

OB

可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量

OM

，有且只有一對實數λ，μ，使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．設M（x，y），由1）中各點的坐標有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），所以x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又點在橢圓C上，所以有（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²整理為λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④
由③有：x1+x2=

3 2 b

2

，x1•x2=

3b2

4

．所以

x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1- 2 b)(x2- 2 b)=4x1x2-3 2 b(x1+x2)+6b2 =3b2-9b2+6b2=0

⑤
又A﹑B在橢圓上，故有（x₁²+3y₁²）=3b²，（x₂²+3y₂²）=3b²⑥
將⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1.(

λ+μ

2

)2≤

λ2+μ2

2

=

1

2

，故有-

2

2

≤λ+μ≤

2

2

所以(λ+μ)max=

2

2

，(λ+μ)min=-

2

2

點評：本題考查直線 和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．