Question

已知定義域為（-1，1）的函數f(x)=

x

x2+1

．
（Ⅰ）判斷函數f（x）奇偶性并加以證明；
（Ⅱ）判斷函數f（x）的單調性并用定義加以證明；
（Ⅲ）解關于x的不等式f（x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數的奇偶性的定義即可判斷；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，通過作差可判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，根據單調性的定義即可作出判斷；
（Ⅲ）利用函數的奇偶性、單調性可去掉不等式中的符號“f”，從而轉化為具體不等式，注意考慮函數的定義域；

解答：解：（I）f（x）為定義域上的奇函數，證明如下：
定義域為（-1，1），關于原點對稱，
又f（-x）=

-x

(-x)2+1

=

-x

x2+1

=-f（x），
∴f（x）為奇函數；
（II）f（x）在（-1，1）上單調遞增，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1(x22+1)-x2(x12+1)

(x12+1)(x22+1)

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0，x12+1＞0，x22+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上單調遞增；
（III）由（Ⅰ）知，f（x）為奇函數，
∴f（x-1）+f（x）＜0等價于f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
由（Ⅱ）知f（x）單調遞增，
∴

x-1＜-x -1＜x-1＜1 -1＜x＜1

，解得0＜x＜

1

2

，
∴不等式的解集為：(0，

1

2

)；

點評：本題考查函數奇偶性單調性的判斷證明，考查抽象不等式的求解，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．