Question

一名博彩操盤手，放6個白球和6個紅球在一個袋子中，定下規則：凡愿摸彩者，每人交
1元錢給這名操盤手作為“手續費”然后可以一次從袋中摸出5個球，中彩情況如下表：

摸5個球	中彩發放產品
有5個白球	1個帽子（價值20元）
恰有4個白球	1張賀卡（價值2元）
恰有3個白球	紀念品（價值0.5元）
其他	同樂一次（無任何獎品）

（1）求摸一次能獲得20元獎品的概率；
（2）按摸10000次統計，求這名操盤手平均凈賺多少錢？（精確到100元）

Answer 1

分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生所包含的事件是從12個球中摸出5個球，共有C₁₂⁵種結果，滿足條件的事件是從6個球中摸出5個球，共有C₆⁵種結果，得到概率．
（2）在一次摸球中，博彩者獲得的收入是不確定的，故可將其作為一個隨機變量，他能否賺錢，就看該隨機變量的期望是否大于0．把取到白球的個數作為隨機變量ξ，做出概率，算出收入，寫出收入的分布列，做出期望．

解答：解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發生所包含的事件是從12個球中摸出5個球，共有C₁₂⁵種結果，
滿足條件的事件是從6個球中摸出5個球，共有C₆⁵種結果，
∴摸一次能獲得20元獎品的概率是P=

C 5 6

C 5 12

=

1

132

；
（2）在一次摸球中，博彩者獲得的收入是不確定的，故可將其作為一個隨機變量，
他能否賺錢，就看該隨機變量的期望是否大于0．
如果把取到白球的個數作為隨機變量ξ，則P(ξ=5)=

C 5 6

C 5 12

=

1

132

，P(ξ=4)=

C 4 6 • C 1 6

C 5 12

=

15

132

P(ξ=3)=

C 3 6 • C 2 6

C 5 12

=

50

132

P(ξ=2)+P(ξ=1)+P(ξ=0)=

66

132

∴博彩者的收入這一隨機變量η（可能是負數值）的分布列為

η	-19	-1	0.5	1
P	1 132	15 132	50 132	66 132

∴收入隨機變量η的期望為：Eη=(-19)×

1

132

+(-1)×

15

132

+0.5×

50

132

+1×

66

132

=

57

132

=0.4300，
故這各操盤手平均凈賺4300元．

點評：本題看出離散型隨機變量的分布列和期望，以及等可能事件的概率，本題解題的關鍵是利用概率解決實際問題時，要首先讀懂題意．