【題目】已知函數
， 
（
為常數）.
(Ⅰ) 函數
的圖象在點
處的切線與函數
的圖象相切，求實數
的值；
(Ⅱ) 若
， 
，且
，都有
成立，求實數
的值.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ） 
.
【解析】試題分析：（Ⅰ）利用導數求出函數
的圖象在點
處的切線方程，再由直線與函數
的圖象相切的關系，聯立方程組求出
的值；(Ⅱ)依題意不妨設
，根據對數函數及二次函數的性質可判斷
及
的單調性，可把
等價轉化為
，等價于
，再構造函數
，即等價于
在區間
上是增函數，利用導數與函數單調性的關系，結合不等式恒成立的條件，即可求得實數
的值.
試題解析：（Ⅰ）∵
∴
，則
∴函數
的圖象在點
處的切線方程為
，
由
得
.
由
，得
.（還可以通過導數來求
）
(Ⅱ)不妨設
，
∵函數
在區間
上是增函數，
∴
，
∵函數
圖象的對稱軸為
，且
.
∴當
時，函數
在區間
上是減函數，
∴
，
∴
，
等價于
，
即
，
等價于
在區間
上是增函數，
等價于
在區間
上恒成立，
等價于
在區間
上恒成立
∴
又∵
∴
點睛: 本題主要考查導數的應用,包括導數的幾何意義,導數與單調性,屬于中檔題.本題在第2問中注意解題思想:等價轉換,將原不等式轉化為求
在
上為增函數,等價于
在區間
上恒成立,分離出
,轉化為求
在
上的最小值.
導學教程高中新課標系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，點M的坐標為
，曲線C的方程為
；以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率為
的直線l經過點M．
(I)求直線l和曲線C的直角坐標方程：
(II)若P為曲線C上任意一點，直線l和曲線C相交于A，B兩點，求△PAB面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，拋物線
上存在一點
到焦點的距離等于
．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點
的直線
與拋物線相交于
，
兩點（，兩點在
軸上方），點關于軸的對稱點為
，且
，求△
的外接圓的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：
（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上一點（在x軸上方），連結PF1并延長交橢圓于另一點Q，設
＝λ
．
（1）若點P的坐標為（1，
），且△PQF2的周長為8，求橢圓C的方程；
（2）若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e∈[
，
]，求實數λ的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
是定義在D上的函數,若對D中的任意兩數
),恒有
,則稱
為定義在D上的C函數.
(1)試判斷函數
是否為定義域上的C函數,并說明理由;
(2)若函數
是R上的奇函數,試證明
不是R上的C函數;
(3)設
是定義在D上的函數,若對任何實數
以及D中的任意兩數
),恒有
,則稱
為定義在D上的π函數. 已知
是R上的π函數,m是給定的正整數,設
,且
,記
. 對于滿足條件的任意函數
,試求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，以
為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
， 
是曲線
與直線
： 
（
）的交點（異于原點
）．
（1）寫出
， 
的直角坐標方程；
（2）求過點
和直線
垂直的直線
的極坐標方程．
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