Question

【題目】已知函數f（x）在R上滿足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是（ ）
A.y=﹣2x+3
B.y=x
C.y=3x﹣2
D.y=2x﹣1

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8， ∴f（2﹣x）=2f（x）﹣（2﹣x）2+8（2﹣x）﹣8．
∴f（2﹣x）=2f（x）﹣x2+4x﹣4+16﹣8x﹣8．
將f（2﹣x）代入f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8
得f（x）=4f（x）﹣2x2﹣8x+8﹣x2+8x﹣8．
∴f（x）=x2 ， f′（x）=2x，
∴y=f（x）在（1，f（1））處的切線斜率為y′=2．
∴函數y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=2（x﹣1），
即y=2x﹣1．
故選：D．
先根據f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8求出函數f（x）的解析式，然后對函數f（x）進行求導，進而可得到y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程的斜率，最后根據點斜式可求導切線方程．