Question

【題目】如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側棱長為4,E,F分別是棱AB,BC的中點,EF∩BD=G.求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,

求出平面B1EF的法向量為n，平面BDD1B1的一個法向量為，利用空間向量的數量積證明

n⊥,即可.

證明：以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,

由題意知:D(0,0,0),B1(2,2,4),E(2,0),F(,2,0),

因此=(0,-,-4),=(-, ,0).

設平面B1EF的法向量為n=(x,y,z)，則n·=-y-4z=0,n·=-x+y=0.

解得x=y,z=-y,令y=1得n=,

又因為平面BDD1B1的一個法向量為=(-2,2,0),而n·=1×(-2)+1×2×0=0,

即n⊥,所以平面B1EF⊥平面BDD1B1.