Question

【題目】已知函數（其中為自然對數的底數）.

（1）討論函數的單調性；

（2）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3）見證明

【解析】

（1）對函數求導，分類討論和兩種情況，即可得出結果；

（2）分類參數的方法，將化為，再由導數的方法求在的最小值即可；

（3）先由（1）令可知對任意實數都有，即，再令，即可證明結論成立.

解：（1）因為，所以，

①當時，，函數在區間上單調遞增；

②當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）因為對任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立.

即當時，恒成立.

令，則.

顯然當時，，時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

∴時取最小值.

所以實數的取值范圍是

（3）在（1）中，令可知對任意實數都有，

即（等號當且僅當時成立）

令，則，即

故