Question

【題目】已知橢圓E的中心在坐標原點，左、右焦點F1、F2分別在x軸上，離心率為 ，在其上有一動點A，A到點F1距離的最小值是1，過A、F1作一個平行四邊形，頂點A、B、C、D都在橢圓E上，如圖所示．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）判斷ABCD能否為菱形，并說明理由．
（Ⅲ）當ABCD的面積取到最大值時，判斷ABCD的形狀，并求出其最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意可得： ，解得c=1，a=2，b2=3．∴橢圓E的方程為 ．
（II）假設ABCD能為菱形，則OA⊥OB，kOAkOB=﹣1．
①當AB⊥x軸時，把x=﹣1代入橢圓方程可得： =1，解得y= ，
取A ，則|AD|=2，|AB|=3，此時ABCD不能為菱形．
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
聯立 ，化為：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
∴kOAkOB= = = = = ，
假設 =﹣1，化為k2=﹣ ，因此平行四邊形ABCD不可能是菱形．
綜上可得：平行四邊形ABCD不可能是菱形．
（III）①當AB⊥x軸時，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此時ABCD為矩形，S矩形ABCD=6．
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
聯立 ，化為：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
|AB|= = ．
點O到直線AB的距離d= ．
∴S平行四邊形ABCD=4×S△OAB=
=2× × = ．
則S2= = ＜36，
∴S＜6．
因此當平行四邊形ABCD為矩形面積取得最大值6
【解析】（I）由題意可得： ，解得c，a，b2 ， 即可得出．（II）假設ABCD能為菱形，則OA⊥OB，kOAkOB=﹣1．分類討論：①當AB⊥x軸時，把x=﹣1代入橢圓方程，解出即可判斷出；②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．把直線AB的方程與橢圓方程聯立化為：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，利用根與系數的關系及其斜率計算公式kOAkOB=﹣1，看此方程是否有解即可判斷出．（III）①當AB⊥x軸時，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此時ABCD為矩形，S矩形ABCD=6．②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．直線BA的方程與橢圓方程聯立化為：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，利用根與系數的關系可得|AB|= ，點O到直線AB的距離d= ．S平行四邊形ABCD=4×S△OAB= ，即可得出．