Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，且，.

（1）證明:平面平面；

（2）若點為的中點，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先利用勾股定理證明，從而證得平面，進一步證明平面，再利用面面垂直的判定定理，可證得面面垂直；

（2）由（1）有平面，，故以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，過點且與平面垂直的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面的法向量，求出法向量夾角的余弦值，即可得答案.

（1）因為，，，所以.

又，所以，即.

又因為，且，平面，平面，

所以平面.

因為平面，所以.

又因為，，平面，平面，

所以平面，平面，

所以平面平面.

（2）由（1）有平面，，故以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，過點且與平面垂直的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，.

所以，，.

設平面的法向量為，則，即

令，則.

設平面的法向量為，則，即

令，則.

所以.

由圖可知，二面角是鈍角，所以二面角的大小為.