Question

觀察此表：
1，
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…問(wèn)：
（1）此表第n行的第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)分別是多少？
（2）此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少？
（3）2012是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)此表的特點(diǎn)可知此表n行的第1個(gè)數(shù)為2^n-1第n行共有2^n-1個(gè)數(shù)，依次構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解之即可；
（2）直接根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解；
（3）設(shè)2012在此數(shù)表的第n行，則2^n-1≤2012≤2ⁿ-1可求出n，然后設(shè)2012是此數(shù)表的第11行的第m個(gè)數(shù)，而第11行的第1個(gè)數(shù)為2¹⁰，可求出m，從而得到結(jié)論．

解答：解：此表n行的第1個(gè)數(shù)為2^n-1第n行共有2^n-1個(gè)數(shù)，依次構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列．…（4分）
（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是2^n-1+（2^1-1-1）×1=2ⁿ-1；（8分）
（2）由等差數(shù)列的求和公式，
此表第n行的各個(gè)數(shù)之和為

[2n-1+(2n-1)]×2n-1

2

=2^2n-2+2^2n-3-2^n-2，…（8分）
（3）設(shè)2012在此數(shù)表的第n行．
則2^n-1≤2012≤2ⁿ-1可得n=11
故2012在此數(shù)表的第11行．…（10分）
設(shè)2012是此數(shù)表的第11行的第m個(gè)數(shù)，而第11行的第1個(gè)數(shù)為2¹⁰，
因此，2012是第11行的第989個(gè)數(shù)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的求和，同時(shí)考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．