Question

已知拋物線過點A（-1，0），B（1，0），且以圓x²+y²=4的切線為準線，則拋物線的焦點的軌跡方程（　　）

• A．

  x2

  3

  +

  y2

  4

  =1（y≠0）
• B．

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1（y≠0）
• C．

  x2

  3

  -

  y2

  4

  =1（y≠0）
• D．

  x2

  4

  -

  y2

  3

  =1（y≠0）

Answer 1

分析：設出切線方程，表示出圓心到切線的距離求得a和b的關系，再設出焦點坐標，根據拋物線的定義求得點A，B到準線的距離等于其到焦點的距離，然后兩式平方后分別相加和相減，聯立后，即可求得x和y的關系式．

解答：解：設切線ax+by-1=0，則圓心到切線距離等于半徑
∴

1

a2+b2

=2
∴

a2+b2

=

1

2

，
∴a²+b²=

1

4

設拋物線焦點為（x，y），根據拋物線定義可得

y2+(x+1)2

 =

|-a-1|

a2+b2

y2+(x-1)2

=

|a-1|

a2+b2

平方相加得：x²+1+y²=4（a²+1）①
平方相減得：x=4a，
∴a=

x

4

②
把②代入①可得：x²+1+y²=4（

x2

16

+1）
即：

x2

4

+

y2

3

=1
∵焦點不能與A，B共線
∴y≠0
∴

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)
∴拋物線的焦點軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)
故選B．

點評：本題以圓為載體，考查拋物線的定義，考查軌跡方程，解題時利用圓的切線性質，拋物線的定義是關鍵．