Question

（12分）已知二次函數。
（1）若函數在區間[-1,1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）問是否存在常數t(t≥0)，當x∈[t,10]時，f(x)的最大值與最小值之差為12-t。

Answer 1

（1）-20≤q≤12。
（2）存在常數,8,9滿足條件。

（1）∵函數的對稱軸是x=8，
∴函數在區間[-1,1]上是減函數。
∵函數在區間[-1,1]上存在零點，則必有：
即，∴-20≤q≤12。
（2）∵0≤t≤10，f(x)在區間[0,8]上是減函數，在區間[8,10]上是增函數，且對稱軸是x=8。
①當0≤t≤6時，在區間[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，
∴f(t)-f(8)=12-t,即t²-15t+52=0,解得，
所以；
②當6<t≤8時，在區間[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，
∴f(10)-f(8)=12-t,解得t=8；
③當8＜t≤10時，在區間[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，
∴f(10)-f(t)=12-t,解得t=8或9.，
∴t=9.
綜上所知，存在常數,8,9滿足條件。