Question

已知橢圓的左右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），且經過點，M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF₂為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知及橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，求出a=2．又c=1．由此能求出橢圓方程．
（2）先設M（x，y），得到圓M的半徑，再利用圓心M到y軸距離d=|x|，結合圓M與y軸有兩個交點時，則有r＞d，即可構造關于x不等式，從而解得點M橫坐標的取值范圍．
解答：解：（1）由橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，…（1分）
即，…（3分）
∴a=2．又c=1，∴b²=a²-c²=3．…（5分）
故橢圓方程為．…（6分）
（2）設M（x，y），則圓M的半徑，…（7分）
圓心M到y軸距離d=|x|，…（8分）
若圓M與y軸有兩個交點則有r＞d即，…（9分）
化簡得．…（10分）
∵M為橢圓上的點
∴，…（11分）
代入以上不等式得，
解得．…（12分）
∵-2≤x≤2，…（13分）
∴．…（14分）
點評：本題考查橢圓方程和直線與圓錐曲線的關系，綜合性強，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．