Question

已知一條不在y軸左側(cè)的曲線E上的每個(gè)點(diǎn)到A（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸的距離差都是1．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知曲線E的一條焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成長(zhǎng)為m、n兩部分，試判斷

1

m

+

1

n

是否為定值，若是求出定值并加以證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意及拋物線的定義可判斷曲線E為以點(diǎn)A為焦點(diǎn)的拋物線，從而可得其方程；
（2）幾何法：當(dāng)焦點(diǎn)垂直x軸時(shí)易求

1

m

+

1

n

的值；當(dāng)焦點(diǎn)不垂直x軸時(shí)，作出示意圖，利用拋物線定義及三角形相似可得m，n間的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后整理即可得到

1

m

+

1

n

的值，綜上可得結(jié)論．

解答：解：（1）由曲線E上的每個(gè)點(diǎn)到A（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸的距離差都是1，知曲線E上的點(diǎn)到A的距離等于到x=-1的距離，
所以曲線E為以A為焦點(diǎn)、x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線E的方程為：y²=4x；
（2）

1

m

+

1

n

是定值為1，證明如下：
當(dāng)焦點(diǎn)弦垂直x軸時(shí)，把x=-1代入拋物線方程y²=4x，得y═±2，
所以此時(shí)m=n=2，故

1

m

+

1

n

=

1

2

+

1

2

=1；
當(dāng)焦點(diǎn)弦不垂直x軸時(shí)，如下圖所示：

不妨設(shè)MF=m，NF=n，且m＞n，則PM=m，QN=n，設(shè)NR交x軸與S，則SF=2-n，RM=m-n，
在Rt△MNR中，由三角形相似得

SF

RM

=

NF

NM

，即

2-n

m-n

=

n

m+n

，即（2-n）（m+n）=n（m-n），
所以（m+n）=mn，兩邊同除以mn得

1

m

+

1

n

=1，即為定值1．
綜上，

1

m

+

1

n

為定值1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查拋物線的定義及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，要認(rèn)真體會(huì)幾何圖形在本題中的應(yīng)用．