Question

已知拋物線y=x²和三個點M（x，y）、P（0，y）、N（-x，y）（y≠x²，y＞0），過點M的一條直線交拋物線于A、B兩點，AP、BP的延長線分別交曲線C于E、F．
（1）證明E、F、N三點共線；
（2）如果A、B、M、N四點共線，問：是否存在y，使以線段AB為直徑的圓與拋物線有異于A、B的交點？如果存在，求出y的取值范圍，并求出該交點到直線AB的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出A，B，E，F的坐標，進而可表示出直線AB的方程，把點M代入，整理可得到y的表達式，進而把直線AP的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理表示出x_F和y_F，x_E和y_E，將y的表達式代入得y=y，判斷出N點在直線EF上．
（2）已知A、B、M、N共線，可分別表示出A，B的坐標和以AB為直徑的圓的方程，與拋物線方程聯立求得y和y的關系要使圓與拋物線有異于A，B的交點判斷y-1≥0，進而可推斷出存在y≥1，使以AB為直徑的圓與拋物線有異于A，B的交點T且y_T=y-1進而求得交點T到AB的距離．
解答：（1）證明：設A（x₁，x₁²）、B（x₂，x₂²），E（x_E，y_E）、F（x_F，y_F）
則直線AB的方程：
即：y=（x₁+x₂）x-x₁x₂
因M（x，y）在AB上，所以y=（x₁+x₂）x-x₁x₂①
又直線AP方程：
由得：
所以
同理，
所以直線EF的方程：
令x=-x得
將①代入上式得y=y，即N點在直線EF上
所以E，F，N三點共線
（2）解：由已知A、B、M、N共線，所以
以AB為直徑的圓的方程：x²+（y-y）²=y
由得y²-（2y-1）y+y²-y=0
所以y=y（舍去），y=y-1
要使圓與拋物線有異于A，B的交點，則y-1≥0
所以存在y≥1，使以AB為直徑的圓與拋物線有異于A，B的交點T（x_T，y_T）
則y_T=y-1，所以交點T到AB的距離為y-y_T=y-（y-1）=1
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關鍵是充分發揮判別式和韋達定理在解題中的作用．