Question

已知橢圓C:的左，右焦點分別為，過 的直線L與橢圓C相交 A,B于兩點，且直線L的傾斜角為，點到直線L的距離為 ，
(1)  求橢圓C的焦距.(2)如果求橢圓C的方程.(12分)

Answer 1

(1)焦距2c=4（2）橢圓C的方程為。

試題分析：(1)由點到直線的距離公式可求出c=2.從而得到焦距2c=4.
(2)  因為直線l過點F₂（2，0），可設直線L的方程為，它與橢圓的方程聯立消去x得到關于y的一元二次方程，再利用韋達定理，得到y₁+y₂,y₁y₂,然后再利用,
得到,這三個式子結合可求出a,b.從而得到橢圓的方程.
(1)∵點到直線L的距離為，∴易得，∴c=2
∴焦距2c=4(5分).
（2）∵，又過 的直線L的傾斜角為，∴直線L的方程為，得設，，解得，
∵，∴，∴a="3," ∴.
橢圓C的方程為（12分）
點評：（1）本題涉及到點到直線的距離公式：則點P到直線l的距離.
（2）直線與圓錐曲線的位置關系問題一般要通過韋達定理及判別式來解決.