Question

橢圓上任一點P到兩焦點的距離的和為6，離心率為，A、B分別是橢圓的左右頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設C（x，y）（0＜x＜a）為橢圓上一動點，D為C關于y軸的對稱點，四邊形ABCD的面積為S（x），設f（x）=，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用P到兩焦點的距離的和為6，離心率為，求出幾何量，從而可求橢圓的標準方程；
（2）確定四邊形ABCD的面積為S（x），可得f（x）=，利用導數知識，可求函數f（x）的最大值．
解答：解：（1）依題意，P到兩焦點的距離的和為6，離心率為，
∴2a=6，e==，
∴a=3，c=2
∴=1
∴橢圓標準方程為；
（2）依題意，點D（-x，y）（0＜x＜3）
由點C在橢圓上得，且S（x）=
∴f（x）==（x+3）（）=（0＜x＜3）
∴f′（x）=-（x-1）（x+3）
令f′（x）＞0，則-3＜x＜1，
∵0＜x＜3，∴0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上單調遞增；
令f′（x）＜0，則x＜-3或x＞1，
∵0＜x＜3，∴1＜x＜3，∴f（x）在（1，3）上單調遞減，
∴f（x）在x=1處取得唯一的極大值，同時也是最大值，
∴f（x）_max=f（1）=．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查函數解析式的確定，考查導數知識的運用，屬于中檔題．