Question

【題目】如圖，已知橢圓，過動點M（0，m）的直線交x軸于點N，交橢圓C于A，P（其中P在第一象限，N在橢圓內），且M是線段PN的中點，點P關于x軸的對稱點為Q，延長QM交C于點B，記直線PM，QM的斜率分別為k1，k2．

（1）當時，求k2的值；

（2）當時，求直線AB斜率的最小值．

Answer 1

【答案】（1）k2＝1（2）最小值為1．

【解析】

（1）設P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），M（0，m），計算得到，得到答案.

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），直線PA的方程為y＝kx+m，（k＞0），聯立方程計算得到，代入數據利用均值不等式計算得到答案.

（1）設P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．

所以直線PM的斜率；直線QM的斜率；

此時．當時k2＝1；

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）．

直線PA的方程為y＝kx+m，（k＞0）

由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0

，即；

所以；

直線QB的方程為y＝﹣3kx+m．

同理有：，，

2，

當且僅當，即時取等號；

故直線AB 的斜率的最小值為1．