Question

已知函數y=lg（x²+2x+a）
（1）若函數定義域為R，求a的取值范圍；
（2）若函數的值域為[0，+∞），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）給出的函數是對數型的復合函數，函數的定義域為實數集，說明取任意實數都有真數大于0，然后結合“三個二次”求解；
（2）對數型復合函數的外層函數時增函數，要使函數的值域為[0，+∞），只需要內層函數的值域是[1，+∞），然后求解使內層二次函數的最小值為1的a值．

解答：解：（1）函數y=lg（x²+2x+a）的定義域為R，說明對任意x∈R，x²+2x+a＞0恒成立，
因為二次函數y=x²+2x+a的圖象開口向上，所以只需2²-4a＜0即可，所以a＞1；
（2）令g（x）=x²+2x+a，函數y=lg（x²+2x+a）的值域為[0，+∞），
即函數g（x）=x²+2x+a的值域是[1，+∞），由

4a-22

4

=1，得：a=2．
所以使函數y=lg（x²+2x+a）的值域為[0，+∞）的a的取值范圍是{2}．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了逆向思維方式，訓練了利用“三個二次”結合求解不等式，此題是基礎題，但容易出錯．