Question

（本小題滿分14分）
已知函數f(x)=x－ax + (a－1)，．
（I）討論函數的單調性；
（II）若，數列滿足．
若首項，證明數列為遞增數列；
若首項為正整數，數列遞增，求首項的最小值．

Answer 1

解（I）可知的定義域為，且
．
當即,則,得在單調增加．————1分
當,而,即時,若，則;若或，則．
此時在單調減少，在單調增加；   ————3分
當,即,可得在單調減少，在單調增加.
綜上，當時，函數在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增；當時，函數在上單調遞增；當時，函數在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增．  ——————6分
（II）若，則=x－2x +，由（I）知函數在區間上單調遞增．
（1）因為，所以，可知．
假設，因為函數在區間上單調遞增，所以，即得．
所以，由數學歸納法可得．因此數列為遞增數列．—————9分
（2）由（1）知：當且僅當，數列為遞增數列．
所以，題設即a1－2 a1 + > a1，且a1為正整數．
由a1－2 a1 + > a1，得．　
令，則，可知函數在區間遞增．由于，，，．所以，首項的最小值為6． ————————14分

略