Question

【題目】在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=（n∈N+），

（1）計(jì)算a2、a3、a4并由此猜想通項(xiàng)公式an；

（2）證明（1）中的猜想．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析（1）根據(jù)遞推關(guān)系式依次求a2、a3、a4，根據(jù)分子分母之間關(guān)系猜想通項(xiàng)公式an（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證起始項(xiàng)，再利用an+1=及歸納假設(shè)證n=k+1情況

試題解析：（1）在數(shù)列{an}中，∵a1=2，an+1=（n∈N*）

∴a1=2=，a2==，a3==，a4==，

∴可以猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=．

（2）方法一：下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)，成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=．

則當(dāng)n=k+1（k∈N*）時(shí)，ak+1===，

因此當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．

綜上①②可知：n∈N*，an=都成立，

方法二：∵an+1=，

∴==1+，∴﹣=1，∵a1=2，∴=，

∴{}是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴=+（n﹣1）=，∴an=