Question

過點(diǎn)Q（-2，

21

） 作圓C：x²+y²=r²（r＞0）的切線，切點(diǎn)為D，且QD=4．
（1）求γ的值；
（2）設(shè)P是圓C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線l，且l交x軸于點(diǎn)A，交y 軸于點(diǎn)B，設(shè)

OM

=

OA

+

OB

，求|

OM

|的最小值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（1）利用圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，可求r的值；
（2）設(shè)出直線方程，利用

OM

=

OA

+

OB

，表示出

OM

，求出模長，利用基本不等式即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）圓C：x²+y²=r²（r＞0）的圓心為O（0，0），則
∵過點(diǎn)Q（-2，

21

） 作圓C：x²+y²=r²（r＞0）的切線，切點(diǎn)為D，且QD=4
∴r=OD=

QO2-QD2

=

4+21-16

=3；
（2）設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，則A（a，0），B（0，b），
∵

OM

=

OA

+

OB

，∴

OM

=（a，b），∴|

OM

|=

a2+b2

∵直線l與圓C相切，∴

|-ab|

a2+b2

=3
∴3

a2+b2

=ab≤

a2+b2

2

∴a²+b²≥36
∴|

OM

|≥6
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3

2

時(shí)，|

OM

|的最小值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查基本不等式，屬于中檔題．