Question

【題目】已知函數.

（1）若對恒成立，求實數的取值范圍；

（2）是否存在整數，使得函數在區間上存在極小值，若存在，求出所有整數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在整數，使得函數在區間上存在極小值.

【解析】

試題分析：（1）由，設，則，利用導數工具求得，原命題可轉化為對恒成立的取值范圍為；（2）易得，利用分類討論思想對、和分三種情況可得：存在整數，使得函數在區間上存在極小值.

試題解析：（1）由得，

設，則，

，∴，則在上是減函數，

∴，

對恒成立，即對恒成立，

∴，則實數的取值范圍為.

（2），

∴，

①當時，，單調遞增，無極值.

②當時，若，或，則；若，則.

∴當時，有極小值.

在上有極小值，∴.∴存在整數.

③當時，若或，則；若，則.

∴當時，有極小值.

在上有極小值，

∴，得.

由①②③得，存在整數，使得函數在區間上存在極小值.