Question

已知函數f（x）=x³-ax²+x+b在（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1．
（1）求a，b的值；
（2）設函數g（x）=-（1+k）x²+x+2，若在x∈（0，3）內，函數f（x）的圖象總在g（x）的下方，則求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導函數可得f′（x）=3x²-2ax+1
∵函數f（x）=x³-ax²+x+b在（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1
∴f′（1）=4-2a=2，∴a=1
∵x=1時，y=2+1=3，∴f（1）=3
將（1，3）代入函數解析式，可得b=2；
（2）設T（x）=f（x）-g（x）=x³+kx²，T′（x）=3x（x+）
①當k=0時，T′（x）=3x²，在x∈（0，3）內，T′（x）＞0，即T（x）單調遞增
∵T（x）＞T（0）=0
∴f（x）＞g（x）
∴函數f（x）的圖象總在g（x）的上方，故不合題意；
②當k＞0時，在x∈（0，3）內，T′（x）＞0，即T（x）單調遞增
∵T（x）＞T（0）=0
∴f（x）＞g（x）
∴函數f（x）的圖象總在g（x）的上方，故不合題意；
③當k＜0時，
若，即k≤-時，在x∈（0，3）內，T′（x）＜0，即T（x）單調遞減
∵T（x）＜T（0）=0
∴f（x）＜g（x）
∴函數f（x）的圖象總在g（x）的下方，符合題意；
若0＜-k＜3，即時，在x∈（0，-k）內，T′（x）＜0，即T（x）單調遞減；在x∈（-k，3）內，T′（x）＞0，即T（x）單調遞增
∵在x∈（0，3）內，函數f（x）的圖象總在g（x）的下方，
∴T（3）≤0，∴k≤-3
∵，∴
綜上，k的取值范圍為（-∞，-3]．
分析：（1）由題意，利用導數的幾何含義及切點的坐標建立a，b的方程，然后求解即可；
（2）構造函數T（x）=f（x）-g（x）=x³+kx²，求導函數，分類討論：①當k=0時，在x∈（0，3）內，T（x）單調遞增，函數f（x）的圖象總在g（x）的上方；②當k＞0時，在x∈（0，3）內，T（x）單調遞增，函數f（x）的圖象總在g（x）的上方；③當k＜0時，若，即k≤-時，在x∈（0，3）內，T（x）單調遞減，函數f（x）的圖象總在g（x）的下方；若0＜-k＜3，即時，利用T（3）≤0，即可求得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查構造新函數，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是正確分類，確定函數的單調性，屬于中檔題．