Question

若給定橢圓C：ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b）和點(diǎn)N（x，y），則稱直線l：axx+byy=1為橢圓C的“伴隨直線”．
（1）若N（x，y）在橢圓C上，判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關(guān)系（當(dāng)直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)時(shí)，分別稱直線與橢圓相離、相切、相交），并說明理由；
（2）命題：“若點(diǎn)N（x，y）在橢圓C的外部，則直線l與橢圓C必相交．”寫出這個(gè)命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說明理由；
（3）若N（x，y）在橢圓C的內(nèi)部，過N點(diǎn)任意作一條直線，交橢圓C于A、B，交l于M點(diǎn)（異于A、B），設(shè)，，問λ₁+λ₂是否為定值？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1），由根的差別式能得到l與橢圓C相切．
（2）逆命題：若直線l：axx+byy=1與橢圓C相交，則點(diǎn)N（x，y）在橢圓C的外部．是真命題．聯(lián)立方程得（aby²+a²x²）x²-2axx+1-by²=0．由△=4a²x²-4a（by²+ax²）（1-by²）＞0，能求出N（x，y）在橢圓C的外部．
（3）此時(shí)l與橢圓相離，設(shè)M（x₁，y₁），A（x，y）則代入橢圓C：ax²+by²=1，利用M在l上，得（ax²+by²-1）λ₁²+ax₁²+by₁²-1=0．由此能求出λ₁+λ₂=0．
解答：解：（1）
即ax²-2axx+ax²=0
∴△=4a²x²-4a²x²=0
∴l(xiāng)與橢圓C相切．
（2）逆命題：若直線l：axx+byy=1與橢圓C相交，則點(diǎn)N（x，y）在橢圓C的外部．
是真命題．聯(lián)立方程得（aby²+a²x²）x²-2axx+1-by²=0
則△=4a²x²-4a（by²+ax²）（1-by²）＞0
∴ax²-by²+b²y⁴-ax²+abx²y²＞0
∴by²+ax²＞1
∴N（x，y）在橢圓C的外部．
（3）同理可得此時(shí)l與橢圓相離，設(shè)M（x₁，y₁），A（x，y）
則代入橢圓C：ax²+by²=1，利用M在l上，
即axx₁+byy₁=1，整理得（ax²+by²-1）λ₁²+ax₁²+by₁²-1=0
同理得關(guān)于λ₂的方程，類似．
即λ₁、λ₂是（ax²+by²-1）λ²+ax₁²+by₁²-1=0的兩根
∴λ₁+λ₂=0．
點(diǎn)評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．