Question

已知函數f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的導函數,F(x)＝f(x)f′(x)＋f²(x)
(Ⅰ)求F(x)的最小正周期及單調區間；
(Ⅱ)求函數F(x)在上的值域；
(Ⅲ)若f(x)＝2f′(x)，求的值．

Answer 1

（Ⅰ)T＝π.單調遞增區間:單調遞減區間:
（Ⅱ）[1，1＋]；（Ⅲ）.

試題分析：(I)將函數F(x)＝f(x)f′(x)＋f²(x)化一可得：F(x)＝1＋sin(2x＋)，由此可得F(x)的最小正周期及單調區間.(Ⅱ) 由得這樣可得sin(2x＋)的范圍，從而得函數F(x)的值域.
(Ⅲ)由f(x)＝2f′(x),得：sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，由此可得tanx的值.
將化為只含tanx式子，將tanx.的值代入即可.
試題解析：(I)∵f′(x)＝cosx－sinx，
∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f²(x)＝cos²x－sin²x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin(2x＋)，
最小正周期為T＝＝π.
單調遞增區間:單調遞減區間: .      4分
(Ⅱ)由得
所以，所以函數F(x)的值域為[1，1＋].             8分
(Ⅲ)∵f(x)＝2f′(x), ∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，
∴cosx＝3sinx, ∴tanx＝，
∴＝＝＝＝.                13分
考點:1、三角變換；2、三角函數的單調性和范圍；3、三角函數同角關系式.