Question

如圖，圓O的直徑AB= 10，P是AB延長線上一點，BP=2，割線PCD交圓O于點C、D，過點P作AP的垂線，交直線AC于點E，交直線AD于點F．
（Ⅰ）求證：PEC= PDF
（Ⅱ）求PEPF的值

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）24

解析試題分析：（Ⅰ）由知，B、P、E、C四點共圓，由四點共圓外交等于內對角知，∠CBA=∠PEC，由A、B、C、D四點共圓知∠PDF=∠CBA，所以∠PDF=∠PEC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠PDF=∠PEC知F、E、C、D四點共圓，PE×PF=PC×PD，由A、B、C、D四點共圓及切割線定理知PC×PD=PB×PA，結合已知條件即可求出PEPF的值．
試題解析：（Ⅰ）連接,則,
即、、、四點共圓．
∴ 
又、、、四點共圓,
∴ 
∴           （5分）
（Ⅱ）∵,
∴、、、四點共圓, 
∴,又, 
           （10分）
考點：四點共圓的判定與性質，切割線定理