Question

（2013•金華模擬）△ABC中，點P滿足

AP

=t(

AB

+

AC

)，

BP

•

AP

=

CP

•

AP

，則△ABC一定是（　　）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等邊三角形

D．鈍角三角形

Answer 1

分析：設D是BC中點，由

AP

=t(

AB

+

AC

)可得點P在三角形ABC的中線AD所在直線上．再由

BP

•

AP

=

CP

•

AP

，可得

AP

⊥

BC

，從而得到三角形ABC的邊BC上的中線與高線重合，可得三角形ABC是等腰三角形．

解答：解：∵

AP

=t(

AB

+

AC

)，設D是BC中點，則

AB

+

AC

=2

AD

，
∴

AP

=2t•

AD

，故點P在三角形ABC的中線AD所在直線上． 
∵

BP

•

AP

=

CP

•

AP

，∴

AP

•(

BP

-

CP

)=0，即

AP

•

BC

=0，即

AP

⊥

BC

．
即 AP⊥BC，故三角形ABC的邊BC上的中線與高線重合，
所以，三角形ABC是等腰三角形，其中AB=AC，
故選B．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，兩個向量垂直的條件，等腰三角形的判定，屬于中檔題．