Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)左右兩焦點為F₁，F₂，P是橢圓上一點，且在x軸上方，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，OH=λOF₁，λ∈[

1

3

，

1

2

]．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當e取最大值時，過F₁，F₂，P的圓Q的截y軸的線段長為6，求圓Q的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準線L上任一點A引圓Q的兩條切線，切點分別為M，N，試探究直線MN是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

Answer 1

分析：由相似三角形知，

OH

PF2

=

OF1

PF1

，λ=

b2 a

2a- b2 a

，2a²λ-b²λ=b²，2a²λ=b²（1+λ），

b2

a2

=

2λ

1+λ

．
（1）由e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=1-

2λ

1+λ

=

1-λ

1+λ

，知e=

1-λ 1+λ

，在[

1

3

，

1

2

]上單調遞減．由此能求出橢圓的離心率e的取值范圍．
（2）當e=

2

2

時，

c

a

=

2

2

，所以c=b=

2

2

a，2b²=a²．由PF₂⊥F₁F₂，知PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點，由此能求出圓Q的方程．
（3）橢圓方程是

x2

16

+

y2

8

=1，右準線方程為x=4

2

，由直線AM，AN是圓Q的兩條切線，知切點M，N在以AQ為直徑的圓上．設A點坐標為(4

2

，t)，由此能夠導出直線MN必過定點．

解答：解：由相似三角形知，

OH

PF2

=

OF1

PF1

，λ=

b2 a

2a- b2 a

，
∴2a²λ-b²λ=b²，2a²λ=b²（1+λ），

b2

a2

=

2λ

1+λ

．
（1）e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=1-

2λ

1+λ

=

1-λ

1+λ

，∴e=

1-λ 1+λ

，在[

1

3

，

1

2

]上單調遞減．
∴λ=

1

2

時，e²最小

1

3

，λ=

1

3

時，e²最大

1

2

，
∴

1

3

≤e2≤

1

2

，∴

3

3

≤e≤

2

2

．
（2）當e=

2

2

時，

c

a

=

2

2

，∴c=b=

2

2

a，∴2b²=a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點，
∴在y軸上截得的弦長就是直徑，∴PF₁=6．
又PF1=2a-

b2

a

=2a-

a2

2a

=

3

2

a=6，∴a=4，c=b=2

2

．
∴PF2=

b2

a

=

a

2

=2，圓心Q（0，1），半徑為3，x²+（y-1）²=9．
（3）橢圓方程是

x2

16

+

y2

8

=1，右準線方程為x=4

2

，
∵直線AM，AN是圓Q的兩條切線，∴切點M，N在以AQ為直徑的圓上．設A點坐標為(4

2

，t)，
∴該圓方程為x(x-4

2

)+(y-1)(y-t)=0．∴直線MN是兩圓的公共弦，兩圓方程相減得：4

2

x+(t-1)y-8-t=0，這就是直線MN的方程．
該直線化為：(y-1)t+4

2

x-y-8=0，
∴

y-1=0 4 2 x-y-8=0

，∴

x= 9 2 8 y=1

∴直線MN必過定點(

9 2

8

，1)．

點評：本題考查直線 和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．