Question

如圖2-5-10，∠BAC的平分線與邊BC和外接圓分別相交于D和E，延長AC交過D、E、C三點的圓于點F.

（1）求證：EF²=ED·EA；

（2）若AE=6，EF=3，求AF·AC的值.

圖2-5-10

Answer 1

思路分析：（1）要證EF²=ED·EA，只需證△AEF∽△FED.（2）由于AC·AF=AD·AE，而由（1）可求得DE，因而AD可以求出來，從而計算出AD·AE，即為AC·AF的值.

（1）證明：連結CE、DF.

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1=∠3，∴∠2=∠4.

∵∠AEF=∠FED，∴△AEF∽△FED.

∴.∴EF²=ED·EA.

（2）解：由（1）知EF²=AE·ED.

∵EF=3,AE=6,∴ED=.∴AD=.

∴AC·AF=AD·AE=6×=27.

    方法歸納 當題目中涉及兩個圓時，我們常常作兩圓的公共弦EC，以此來溝通兩個圓的聯系，這也是解決此類問題的關鍵.