Question

某制藥廠準備投入適當的廣告費，對產品進行宣傳，在一年內，預計年銷量Q（萬件）與廣告費x（萬元）之間的函數關系為Q=

3x+1

x+1

(x≥0)．已知生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬件此產品仍需后期再投入32萬元，若每件售價為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”與“后期再投入”）．
（1）試將年利潤W萬元表示為年廣告費x萬元的函數；
（2）當年廣告費投入多少萬元時，企業年利潤最大？并求出該最大值．

Answer 1

分析：（1）根據生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬件此產品仍需后期再投入32萬元，若每件售價為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和，可建立函數關系式；
（2）利用換元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．

解答：解：（1）由題意，∵生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬件此產品仍需后期再投入32萬元，若每件售價為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和
∴W

=0.5×(3+32Q)-0.5x

=

16(3x+1)

x+1

-0.5x+1.5(x≥0）（3分）
（2）令x+1=t（t≥1），則W=50-(

32

t

+

t

2

)≤50-2

16

=42．-----（2分）
當且僅當t=8，即x=7時取最大值42萬元．-----（2分）
答：當廣告投入7萬元時，企業的最大利潤為42萬元．-----（1分）

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，利用利潤=收入-成本，得到年利潤的表達式是解答本題的關鍵．