Question

【題目】已知函數(shù)(其中)，且曲線在處的切線與軸平行.

（1）求的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，試比較與1的大小關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）（2）的單調(diào)遞減區(qū)間為（3）

【解析】

（1）推導(dǎo)出x＞0，f′（x）＝lnx+1﹣ax+1﹣a＝lnx﹣ax+2﹣a，由曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行，得到f′（1）＝ln1﹣a+2﹣a＝0，由此能求出a．（2）由f（x）＝xlnxx2+1，令g（x）＝f′（x）＝lnx﹣x+1，則g（1）＝0，，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間．（3）由x1+x2＝2，得x2＝2﹣x1，f（x1）+f（x2）﹣1＝f（x1）+f（2﹣x1）﹣1，令F（x）＝f（x）+f（2﹣x）﹣1＝xlnx+（2﹣x）ln（2﹣x）﹣x2+2x﹣1，0＜x＜2，F′（x）＝lnx﹣ln（2﹣x）﹣2x+2，令G（x）＝F′（x），G′（x），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能推導(dǎo)出f（x1）+f（x2）≥1．

（1）

由題意得

則，經(jīng)檢驗成立，所以成立

（2）由（1）得：，定義域為，

令

則

當(dāng)時，

當(dāng)時，

則的最大值為

則對于任意的，都有

的單調(diào)遞減區(qū)間為

（3）．

由得，，．

令，．

，

令，．

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增．

又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，遞增．

所以，即，所以．