Question

已知函數y=f（x）的定義域為（-1，1），并且對一切x，y∈（-1，1）恒有f（x）+f（y）=f（x+y）；且當x＞0時，f（x）＜0；
（1）判斷該函數的奇偶性；
（2）判斷并證明該函數的單調性；
（3）若f（1-m）+f（1-m²）＞0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，得f（0）=0，再令y=-x，即可判斷該函數的奇偶性；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，作差f（x₂）-f（x₁）后判斷符號即可判斷該函數的單調性；
（3）利用（2）中該函數的單調性與（1）中的奇偶性，可脫掉f（1-m）+f（1-m²）＞0，中的“f”，得到關于m的不等式組，解之即可．

解答：解：（1）令x=y=0，得f（0）=0；
再令y=-x，
則f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），又y=f（x）的定義域為（-1，1），
∴函數y=f（x）為奇函數；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，
則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時，f（x）＜0；
∴f（x₂-x₁）＜0
又y=f（x）為奇函數，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴函數在（-1，1）上單調遞減；
（3）依題意，f（1-m）+f（1-m²）＞0?f（1-m）＞f（m²-1），
∵函數在（-1，1）上單調遞減；
∴

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，解得1＜m＜

2

．
∴實數m的取值范圍是（1，

2

）．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數奇偶性與單調性的應用，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．