Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，對任意的n∈N^*，向量

a

=(-1，an)，

b

=(an+1，q)（q是常數，q＞0）都滿足

a

⊥

b

，求

lim

n→∞

Sn

Sn+1

．

Answer 1

∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=-an+1+anq=0，即

an+1

an

=q，故數列{a_n}是以2為首項、以q為公比的等比數列．
當q=1時，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

lim

n→∞

na1

(n+1)a1

=1；
當q≠1時，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+1

=

1，0＜q＜1 1 q ，q＞1

．