Question

【題目】已知點P是圓F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一點，點F2與點F1關于原點對稱，線段PF2的垂直平分線分別與PF1，PF2交于M，N兩點．

（1）求點M的軌跡C的方程；

（2）過點G（0， ）的動直線l與點的軌跡C交于A，B兩點，在y軸上是否存在定點Q，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）在y軸上存在定點Q（0，﹣1），使以AB為直徑的圓恒過這個點．

【解析】試題分析：（1）由圓的方程求出F1、F2的坐標，結合題意可得點M的軌跡C為以F1，F2為焦點的橢圓，并求得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；

（2）直線l的方程可設為 ，設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立直線方程與橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求出A，B橫坐標的和與積，假設在y軸上是否存在定點Q（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個點，可得 ，即 ．利用向量的坐標運算即可求得m值，即定點Q得坐標．

試題解析：

（1）由圓F1：（x﹣1）2+y2=8，得F1（1，0），則F2（﹣1，0），

由題意得 ，

∴點M的軌跡C為以F1，F2為焦點的橢圓，

∵

∴點M的軌跡C的方程為；

（2）直線l的方程可設為，設A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立 可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．

則+= ， = ，

假設在y軸上是否存在定點Q（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個點，

則，即．

∵ ，

∴= + = +

∴ ，解得m=﹣1．

因此，在y軸上存在定點Q（0，﹣1），使以AB為直徑的圓恒過這個點．