Question

【題目】已知橢圓C的兩個焦點坐標分別是F1（﹣ ，0）、F2（ ，0），并且經過點P（ ，﹣ ）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與圓O：x2+y2=1相切，并與橢圓C交于不同的兩點A、B．當 =λ，且滿足 ≤λ≤ 時，求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓方程為： =1（a＞b＞0），

由題意可得：c= ， + =1，a2=b2+c2，

聯立解得：a=2，b=1．

∴橢圓C的方程為： +y2=1

（2）解：由題意可知：直線l的斜率不為零，

設直線l方程：x﹣my﹣n=0與圓O：x2+y2=1相切，

∴ =1，解得n2=m2+1．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立 ，

消去x整理得：（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0，

∴y1+y2=﹣ ，y1y2= ．

又∵|AB|= |y1﹣y2|，

∴ = ，

λ= =x1x2+y1y2=（my1+n）（my2+n）+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2= = ，

∵ ≤λ≤ ，令t=m2+1，

則λ= ，可得t∈[3，6]，

∴S△AOB=2 = ，

∵ ∈ ，∴（ +6）∈ ，

∴ ∈ ，

∴S△AOB∈

【解析】（1）設橢圓方程為： =1（a＞b＞0），由題意可得：c= ， + =1，a2=b2+c2 ， 聯立解出即可得出．（2）由題意可知：直線l的斜率不為零，設直線l方程：x﹣my﹣n=0與圓O：x2+y2=1相切，可得 =1．設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線方程與橢圓方程聯立可得：（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0，可得：|AB|= |y1﹣y2|，S△AOB= d|AB|，λ= =x1x2+y1y2=（my1+n）（my2+n）+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2 ， 由 ≤λ≤ ，令t=m2+1，則λ= ，可得t∈[3，6]，利用基本不等式的性質即可得出．