Question

已知函數f（x）=ax²+bx+c，g（x）=ax+b
（1）令F(x)=

f(x)

g(x)

，當a、b、c滿足什么條件時，F（x）為奇函數？
（2）令G（x）=f（x）-g（x），若a＞b＞c，且f（1）=0
（Ⅰ）求證函數G（x）的圖象與x軸必有兩個交點A、B；
（Ⅱ）求|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用定義可得F（-x）=-F（x），代入整理可求a，b，c 的關系
（2）（I）若a＞b＞c，且f（1）=0，可得a+c+b=0，a＞0＞c，G（x）=f（x）-g（x）=0，判斷判別式△=（b-a）²-4ac＞0即可
（II）由設 A（x₁，0），B（x₂，0）根據方程根與系數的關系可得，AB=|x2-x1|=

(x2+x1)2-4x1x2

，結合a+b+c=0，a＞0＞c進行判斷．

解答：解：（1）∵F（x）為奇函數，∴F（-x）=-F（x）；
∴

f(-x)

g(-x)

= -

f(x)

g(x)

?

a(-x)2-bx+c

-ax+b

=-

ax2+bx+c

ax+b

整理可得bc=0
bc=0，F（x）為奇函數
（2）（I）∵f（1）=a+c+b=0，a＞b＞c∴a＞0＞c
∵G（x）=f（x）-g（x）=ax²+（b-a）x+c-b
∴△=（b-a）²-4a（c-b）=（a+b）²-4ac＞0
∴G（x）=0有兩個根，函數G（x）的圖象與x軸必有兩個交點A、B
（II）設A（x₁，0）B（x₂，0）
∴|AB|=|x2-x1|  =

(x2+x1)2-4x1x2

=

( a-b a )2-4 c a

=

4+ ( c a ) 2

＞2

點評：本題綜合考查了函數的奇偶性，函數與方程 的轉化，方程的根與系數的關系，函數的圖象與x軸相交的線段的長度的求解，知識比較多，是一道綜合性比較好的試題，體現了函數、方程、不等式的相互轉化．