Question

（2008•寶山區一模）已知直線l與拋物線y²=4x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩個不同的點，那么“直線l經過拋物線y²=4x的焦點”是“x₁x₂=1”的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分且必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：先求拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），分斜率存在于與存在討論，當直線l過焦點時的結論，從而說明充分性，反之，借助于方程可知，必要性不成立，故的答案．

解答：解：由于拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），故過焦點的直線l可假設為y=k（x-1）
代入拋物線方程，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁x₂=1
當斜率不存在時，結論也成立
反之，若x₁x₂=1時，由方程k²x²-（2k²+4）x+k²=0知，直線l不一定經過拋物線y²=4x的焦點
故選A．

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的位置關系，主要考查直線與拋物線的位置關系問題，通常聯立方程，利用韋達定理解決，考查充要條件問題，通常利用定義解答．