Question

設命題p：函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．命題q：函數y=lg（x²-ax+1）的值域為R．如果命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：命題p真則真數大于0恒成立?開口向上；判別式小于0；求出a的范圍；
命題q真則真數的值域包含所有的正實數?判別式大于0求出a的范圍；
據p且q為假命題?命題p和q有且僅有一個為真．求出a的范圍

解答：解：若p真，則

a＞0 (-1)2-4a2＜0

，解得a＞

1

2

．
若q真，則（-a）²-4≥0，解得a≤-2或者a≥2．
因為命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，
所以命題p和q有且僅有一個為真．
所以實數a范圍為：a≤-2或

1

2

＜a＜2．

點評：本題考查解決二次不等式恒成立問題常結合二次函數的圖象列出需要滿足的條件、復合命題的真假與構成其簡單命題真假的關系．