Question

【題目】命題p：f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]時的最大值不超過2，命題q：正數x，y滿足x＋2y＝8，且 恒成立. 若p∨(q)為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】實數a的取值范圍是(－∞，－1)．

【解析】分析：先求出關于為真時的a的取值范圍，根據p∨(q)為假命題，得到p假q真，得到關于a的不等式組，解出即可.

詳解：當a≤0時，f(x)max＝f(0)＝1－a≤2，解得－1≤a≤0；

當0<a<1時，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1≤2，解得0<a<1；

當a≥1時，f(x)max＝f(1)＝a≤2，解得1≤a≤2.

所以使命題p為真的a的取值范圍是[－1,2]．

由x＋2y＝8，得＋＝1，又x，y都是正數，

所以＋＝＝＋≥＋2＝1，當且僅當即時，等號成立，故min＝1.

因為a≤＋恒成立,所以a≤1,所以使命題q為真的a的取值范圍是(－∞，1]．

因為p∨(q)為假命題，所以p假q真，

所以則a<－1，

故實數a的取值范圍是(－∞，－1)．