Question

已知關于x的方程x²+（1+a）x+1+a+b=0（a，b∈R）的兩根分別為x₁、x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，則

a

a+b

的取值范圍是

（-∞，-1）∪（2，+∞）

．

Answer 1

分析：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，可令f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，結合對應二次函數性質得到

f(0)＞0 f(1)＜0

，然后在平面直角坐標系中，做出滿足條件的可行域，分析

b

a

的幾何意義，然后數形結合可求得1+

b

a

的范圍，繼而可求得

a

a+b

的取值范圍．

解答：解：由程x²+（1+a）x+1+a+b=0的二次項系數為1＞0，
故函數f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上，
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂
則

f(0)＞0 f(1)＜0

即

1+a+b＞0 1+1+a+1+a+b＜0

．
即其對應的平面區域如下圖陰影示：
∵若a=0，由

1+a+b＞0 1+1+a+1+a+b＜0

得-1＜b＜-3，這不可能，故a≠0，
∴

a

a+b

=

1

1+ b a

，
∵

b

a

=

b-0

a-0

，其幾何意義為可行域內的點與原點連線的斜率，
由

1+a+b=0 1+1+a+1+a+b=0

得P（-2，1），
∴(

b

a

)max=

1-0

-2-0

=-

1

2

，(

b

a

)min=-2，
∴-1＜

b

a

+1＜

1

2

．
若-1＜

b

a

+1＜0，則

1

1+ b a

＜-1，
若0＜

b

a

+1＜

1

2

，則

1

1+ b a

＞2．
∴

a

a+b

的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，三個二次之間的關系，線性規劃，其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，結合二次函數性質得到

f(0)＞0 f(1)＜0

是解答本題的關鍵，考查化歸思想與分類討論思想、數形結合思想的綜合應用，屬于難題．