Question

已知正方形ABCD的邊長是4，對角線AC與BD交于O．將正方形ABCD沿對角線BD折成60°的二面角，并給出下面結論：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC為正三角形；④cos∠ADC=

3

4

，則其中的真命題是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：由題意，作出如圖的圖象，由正方形的性質知，CO⊥BD，AO⊥BD，可得BD⊥面AOC，且AC=AO=CO=2

2

，AD=CD=4，可由線面垂直判斷AC⊥BD，AD⊥CO可反證確定它不成立，③可由正三角形的性質判斷，④可由余弦定理直接求出cos∠ADC=

3

4

，由此可選出正確答案．

解答：解：由題意，可作出如圖的圖象，在下圖中，由正方形的性質知，CO⊥BD，AO⊥BD，故可得BD⊥面AOC
由此可得出BD⊥AC，∠AOC=60°，故①正確，
又由題設條件O是正方形對角線的交點，可得出AO=CO，于是有③△AOC為正三角形，可得③正確；
由上證知，CO與面ABD不垂直且CO⊥BD，故AD與CO不垂直，由此知②不正確；
由上證知，△AOC是等邊三角形，故AC=AO=CO=2

2

，AD=CD=4，所以cos∠ADC=

16+16-8

2×4×4

=

3

4

故④正確
由上判斷知：①③④正確．
故選：D．

點評：本題考查與二面角有關的綜合問題，考查了線面垂直，面面角的平面的確定等問題，這是一個翻折問題，此類問題理解翻折過程中的變與不變是解題的關鍵．