Question

解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 設二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c，(a，b，c∈R)滿足下列條件： ①當x∈R時，f(x)的最小值為0，且f(x－1)＝f(－x－1)成立； ②當x∈(0，5)時，x≤f(x)≤2＋1恒成立． (1) 求f(1)的值 (2) 求f(x)的解析式 (3) 求最大的實數m(m＞1)，使得存在實數t，只要當x∈時，就有f(x＋t)≤x成立．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	在(2)中令x＝1，有1≤f(1)≤1，故f(1)＝1　　　　　　　　　　3分
(2)	由(1)知二次函數的關于直線x＝－1對稱，且開口向上 故設此二次函數為f(x)＝a(x＋1)2，(a＞0)，∵f(1)＝1，∴a＝ ∴f(x)＝(x＋1)2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
(3)	假設存在t∈R，只需x∈[1，m]，就有f(x＋t)≤x． f(x＋t)≤x(x＋t＋1)2≤xx2＋(2t－2)x＋t2＋2t＋1≤0． 令g(x)＝x2＋(2t－2)x＋t2＋2t＋1，g(x)≤0，x∈[1，m]． ∴m≤1－t＋2≤1－(－4)＋2＝9 t＝－4時，對任意的x∈[1，9] 恒有g(x)≤0，∴m的最大值為9． 文科：(3)f(x＋t)≤xx2＋(2t－2)x＋t2＋2t＋1≤0 令g(x)＝x2＋(2t－2)x＋t2＋2t＋1，g(x)≤0，x∈[1，3]． 　∴－4≤t≤－4＋2 ∴tmax＝－4＋2