Question

已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點．
（1）求證：直線l與雙曲線C只有一個公共點；
（2）設直線l與雙曲線C的公共點為M，且，證明：λ+e²=1；
（3）設P是點F₁關于直線l的對稱點，當△PF₁F₂為等腰三角形時，求e的值．

Answer 1

解：（1）證明：因為A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點，
所以點A、B的坐標分別是，B（0，a），
解整理得 x²+2cx+c²=0，解得即，
所以直線l與雙曲線C只有一個公共點、…（3分）
（2）因為，所以．
所以，，即λ+e²=1…（6分）
（3）（ⅰ）因為直線AB為F₁P的中垂線，而F₂不在直線AB上（點A與F₂不重合），
所以|F₂F₁|≠|F₂P|；…（7分）
（ⅱ）若|F₂F₁|=|F₁P|，則，
所以，整理得3c²=a²，所以，不符合題意．…（9分）
（ⅲ）若|PF₂|=|PF₁|，則點P在y軸上，設P（0，y_p），則，
所以y_P=-a，即P（0，-a），
設N是PF₁的中點，則，代入直線l的方程，得，
整理得c²=3a²，e²=3，所以．…（12分）
綜上，當△PF₁F₂為等腰三角形時，．
分析：（1）首先求出A、B兩點坐標，然后聯立直線方程和雙曲線方程，并利用韋達定理得出只有一個公共點及坐標；
（2）根據點的坐標以及，得出，，即可得出結論；
（3）分三種情況討論）（ⅰ）因為直線AB為F₁P的中垂線，而F₂不在直線AB上（點A與F₂不重合）不符合題意；（ⅱ）當|F₂F₁|=|F₁P|時，得出，整理得，不符合題意；（ⅲ）當|PF₂|=|PF₁|時，設出p點坐標得出，，進而求出P點坐標和PF₁的中點坐標代入直線方程即可求出e．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．