Question

如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側面都是矩形，E是CD的中點，，
.
（1）求證：；
（2）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，由已知得，，所以利用線面平行的判定得平面，再利用線面垂直的性質，得；第二問，可以利用傳統幾何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面和平面的法向量，利用夾角公式列出方程，通過解方程，求出線段的長度..
（1）證明：∵底面和側面是矩形，
∴，
又∵
∴平面   3分
∵平面∴ ．        6分
（2）

解法1：延長，交于，連結，
則平面平面
底面是矩形，是 的中點，，∴連結，則
又由（1）可知
又∵，
∴底面，∴∴平面             9
過作于，連結，則是平面與平面即平面與平面所成銳二面角的平面角，所以
又，∴
又易得，，從而由，求得．                   12分
解法2：由（1）可知
又∵，∴底面                                7分
設為的中點，以為原點，以，，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系如圖．                                        8分

設，則，，，， 
設平面的一個法向量
∵，
由，得
令，得                                                           9分
設平面法向量為，因為 ，，
由 得令，得．                  10分
由平面與平面所成的銳二面角的大小為，
得 ，解得． 即線段的長度為．  12分