Question

14、如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分別是A₁B₁，BC，C₁D₁，B₁C₁的中點，求證：平面MNF⊥平面ENF．

Answer 1

分析：欲證平面MNF⊥平面ENF，先證直線與平面垂直，由題意可得：MN⊥EN，MN⊥NF，所以MN⊥面ENF，進一步易得平面MNF⊥平面ENF．

解答：解：連接A₁C₁，B₁D₁
∵E，M，N分別是A₁B₁，C₁D₁，B₁C₁的中點，
∴MN∥B₁D₁，EN∥A₁C₁
又∵A₁C₁⊥B₁D₁
∴MN⊥EN
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵F，N分別是BC，B₁C₁的中點，
∴NF∥B₁B
又∵B₁B⊥面A₁B₁C₁D₁
∴NF⊥面A₁B₁C₁D₁
∵MN?面A₁B₁C₁D₁
∴MN⊥NF
∵EN∩NF=N
∴MN⊥面ENF
又∵MN?平面MNF
∴平面MNF⊥平面ENF

點評：本小題主要考查空間線面關系，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力